| INTRODUCTION |
प्राकृतिक संख्याएँ ( Natural Numbers ) - गिनती की सभी संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती है । यह 1 से प्रारम्भ होकर अनन्त तक जाती है , जैसे - 1 , 2 , 3 , . . . . . . .
पूर्ण संख्याएँ ( Whole Numbers ) - प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य ( 0 ) को भी शामिल कर लेने से प्राप्त संख्याओं का समूह पूर्ण संख्याएँ कहलाती है , जैसे - 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . . .
पूर्णांक संख्याएँ ( Integers numbers ) - जब पूर्ण संख्याओं को घनात्मक और ऋणात्मक चिन्ह के साथ व्यक्त किया जाता है , तब वे संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ कहलाती है , जैसे . . . . . . . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .
यहाँ घनात्मक संख्याएँ घनात्मक पूर्णांक ( Positive Integers ) और ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक ( Negative Integers ) कहलाती है । शून्य ( 0 ) उदासीन पूर्णांक ( Neutral Integer ) कहलाता है । स्पष्टतः सबसे पहला और सबसे अन्तिम पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त नहीं की जा सकती ।
सम संख्याएँ ( Even Numbers ) - वे प्राकृत संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो , सम संख्याएँ कहलाती है । इसका व्यापक रूप 2n होता है , जहाँn प्राकृत संख्याएँ हैं । जैसे - 2 , 4 , 6 , 8 , . .
विषम संख्याएँ ( Odd Numbers ) - सभी प्राकृत संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं हो , विषम संख्याएँ कहलाती है । इसका व्यापक रूप ( 2n - 1 ) होता है , जहाँ । प्राकृत संख्याएँ है । जैसे - 1 , 3 , 5 , 7 , . . . . . . .
रूढ़ या अभाज्य संख्याएँ( Prime Numbers ) - 1 से बड़ी वे संख्याएँ जो 1 या अपने को छोड़कर किसी अन्य संख्या से पूर्णतः विभाजित न हो , रूढ़ या अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 इत्यादि । अत : 2 एक मात्र सम अभाज्य संख्या हैं ।
यौगिक या भाज्य संख्याएँ ( Composite Numbers ) - एक से । बड़ी वे सभी संख्याएँ जो 1 या अपने को छोड़कर किसी अन्य संख्या से भी अवश्य विभाजित हो , यौगिक या भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । दूसरे शब्दों में यह भी कहा जा सकता है कि जिन संख्याओं के दो से अधिक factors हों , वे यौगिक संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 इत्यादि ।
सहभाज्य संख्याएँ ( Co - Prime Numbers ) - दो या दो से अधिक वे संख्याएँ जिसमें 1 के अतिरिक्त अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो , अर्थात् जिसके महत्तम समावर्त्तक ( H . C . F ) 1 हो ; असहभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - ( 5 . 7 ) ; ( 7 , 8 , 13 ) ; ( 21 , 23 , 29 ) इत्यादि ।
परिमेय संख्याएँ ( Rational Numbers ) - वे संख्याएँ जो m/n के रूप में हो , जहाँ m और n पूर्णांक संख्याएँ हैं और n ≠ 0 परिमेय संख्याएँ कहलाती है । जैसे - 3 /13,13/5,0,5,-2/7 इत्यादि । परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप सांत ( terminating ) या आवर्त ( recurring ) होता है ।
अपरिमेय संख्याएँ ( Irrational Numbers ) - वे सभी संख्या जिसे रूप में प्रकट नहीं किया जा सकता , अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं । ऐसी संख्याएँ प्रायः पूर्ण वर्ग नहीं होती और उसे " √ " के अन्दर रखा जाता है । जैसे - ✓5 , ✓10 , 2 ✓6 इत्यादि ।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव रूप असांत ( Non - terminating ) और अनावर्त ( Non - recurring ) होता है ।
वास्तविक संख्याएँ ( Real Numbers ) - परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को सम्मिलित रूप से वास्तविक संख्याएँ कहते हैं । जैसे - ( √5,3/2,√10 , इत्यादि ।
अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएँ ( Imaginary Numbers ) - वे संख्याएँ जो वास्तविक नहीं हैं अर्थात जिसकी मात्र कल्पना की जा सकती है , अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - √-4, √- 9 , ✓- 15 , ✓- 25 , ✓- 29 इत्यादि । किसी भी ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात नहीं किया जा सकता ।
जोड़ का प्रतीप अवयव/योगात्मक प्रतिलोम ( Inverse Element of Addition ) किसी संख्या के जोड़ का प्रतीप अवयव वह संख्या होती है जिसे उस संख्या में जोड़ने से योगफल शून्य ( 0 ) प्राप्त होता है । अतः किसी संख्या का प्रतीप अवयव - a होता है । क्योंकि a + ( - a ) = a - a = 0 अत : 4 के जोड़ का प्रतीप अवयव - 4 है । के जोड़ का प्रतीप अवयव है । 2 6 के जोड़ का प्रतीप अवयव - 6 है इत्यादि ।
गुणा का प्रतीप अवयव/गुणात्मक प्रतिलोम ( Inverse Element of Multi plication ) - किसी संख्या के गुणा का प्रतीप अवयव वह संख्या होती है , जिसे उस संख्या में गुणा करने से गुणनफल 1 प्राप्त होता है । किसी संख्या a के गुणा का प्रतीप अवयव - होगा , क्योंकि
a × 1/a = 1
6 के गुणा का प्रतीप अवयव 1/6 है ।
-7 के गुणा का प्रतीप अवयव -/7 है।
1/2 के गुणा का प्रतीप अवयव 2 है ।
प्राकृतिक संख्याएँ ( Natural Numbers ) - गिनती की सभी संख्याएँ प्राकृत संख्याएँ कहलाती है । यह 1 से प्रारम्भ होकर अनन्त तक जाती है , जैसे - 1 , 2 , 3 , . . . . . . .
पूर्ण संख्याएँ ( Whole Numbers ) - प्राकृत संख्याओं के समूह में शून्य ( 0 ) को भी शामिल कर लेने से प्राप्त संख्याओं का समूह पूर्ण संख्याएँ कहलाती है , जैसे - 0 , 1 , 2 , 3 , . . . . . . . . . .
पूर्णांक संख्याएँ ( Integers numbers ) - जब पूर्ण संख्याओं को घनात्मक और ऋणात्मक चिन्ह के साथ व्यक्त किया जाता है , तब वे संख्याएँ पूर्णांक संख्याएँ कहलाती है , जैसे . . . . . . . . . , - 3 , - 2 , - 1 , 0 , 1 , 2 , 3 , . . . .
यहाँ घनात्मक संख्याएँ घनात्मक पूर्णांक ( Positive Integers ) और ऋणात्मक संख्याएँ ऋणात्मक पूर्णांक ( Negative Integers ) कहलाती है । शून्य ( 0 ) उदासीन पूर्णांक ( Neutral Integer ) कहलाता है । स्पष्टतः सबसे पहला और सबसे अन्तिम पूर्णांक संख्याएँ प्राप्त नहीं की जा सकती ।
सम संख्याएँ ( Even Numbers ) - वे प्राकृत संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित हो , सम संख्याएँ कहलाती है । इसका व्यापक रूप 2n होता है , जहाँn प्राकृत संख्याएँ हैं । जैसे - 2 , 4 , 6 , 8 , . .
विषम संख्याएँ ( Odd Numbers ) - सभी प्राकृत संख्याएँ जो 2 से पूर्णतः विभाजित नहीं हो , विषम संख्याएँ कहलाती है । इसका व्यापक रूप ( 2n - 1 ) होता है , जहाँ । प्राकृत संख्याएँ है । जैसे - 1 , 3 , 5 , 7 , . . . . . . .
रूढ़ या अभाज्य संख्याएँ( Prime Numbers ) - 1 से बड़ी वे संख्याएँ जो 1 या अपने को छोड़कर किसी अन्य संख्या से पूर्णतः विभाजित न हो , रूढ़ या अभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 2 , 3 , 5 , 7 , 11 , 13 इत्यादि । अत : 2 एक मात्र सम अभाज्य संख्या हैं ।
यौगिक या भाज्य संख्याएँ ( Composite Numbers ) - एक से । बड़ी वे सभी संख्याएँ जो 1 या अपने को छोड़कर किसी अन्य संख्या से भी अवश्य विभाजित हो , यौगिक या भाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । दूसरे शब्दों में यह भी कहा जा सकता है कि जिन संख्याओं के दो से अधिक factors हों , वे यौगिक संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - 4 , 6 , 8 , 9 , 10 , 12 , 14 , 15 इत्यादि ।
सहभाज्य संख्याएँ ( Co - Prime Numbers ) - दो या दो से अधिक वे संख्याएँ जिसमें 1 के अतिरिक्त अन्य उभयनिष्ठ गुणनखण्ड न हो , अर्थात् जिसके महत्तम समावर्त्तक ( H . C . F ) 1 हो ; असहभाज्य संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - ( 5 . 7 ) ; ( 7 , 8 , 13 ) ; ( 21 , 23 , 29 ) इत्यादि ।
परिमेय संख्याएँ ( Rational Numbers ) - वे संख्याएँ जो m/n के रूप में हो , जहाँ m और n पूर्णांक संख्याएँ हैं और n ≠ 0 परिमेय संख्याएँ कहलाती है । जैसे - 3 /13,13/5,0,5,-2/7 इत्यादि । परिमेय संख्याओं का दशमलव रूप सांत ( terminating ) या आवर्त ( recurring ) होता है ।
अपरिमेय संख्याएँ ( Irrational Numbers ) - वे सभी संख्या जिसे रूप में प्रकट नहीं किया जा सकता , अपरिमेय संख्याएँ कहलाती हैं । ऐसी संख्याएँ प्रायः पूर्ण वर्ग नहीं होती और उसे " √ " के अन्दर रखा जाता है । जैसे - ✓5 , ✓10 , 2 ✓6 इत्यादि ।
अपरिमेय संख्याओं का दशमलव रूप असांत ( Non - terminating ) और अनावर्त ( Non - recurring ) होता है ।
वास्तविक संख्याएँ ( Real Numbers ) - परिमेय और अपरिमेय संख्याओं को सम्मिलित रूप से वास्तविक संख्याएँ कहते हैं । जैसे - ( √5,3/2,√10 , इत्यादि ।
अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएँ ( Imaginary Numbers ) - वे संख्याएँ जो वास्तविक नहीं हैं अर्थात जिसकी मात्र कल्पना की जा सकती है , अवास्तविक या काल्पनिक संख्याएँ कहलाती हैं । जैसे - √-4, √- 9 , ✓- 15 , ✓- 25 , ✓- 29 इत्यादि । किसी भी ऋणात्मक संख्याओं का वर्गमूल ज्ञात नहीं किया जा सकता ।
जोड़ का प्रतीप अवयव/योगात्मक प्रतिलोम ( Inverse Element of Addition ) किसी संख्या के जोड़ का प्रतीप अवयव वह संख्या होती है जिसे उस संख्या में जोड़ने से योगफल शून्य ( 0 ) प्राप्त होता है । अतः किसी संख्या का प्रतीप अवयव - a होता है । क्योंकि a + ( - a ) = a - a = 0 अत : 4 के जोड़ का प्रतीप अवयव - 4 है । के जोड़ का प्रतीप अवयव है । 2 6 के जोड़ का प्रतीप अवयव - 6 है इत्यादि ।
गुणा का प्रतीप अवयव/गुणात्मक प्रतिलोम ( Inverse Element of Multi plication ) - किसी संख्या के गुणा का प्रतीप अवयव वह संख्या होती है , जिसे उस संख्या में गुणा करने से गुणनफल 1 प्राप्त होता है । किसी संख्या a के गुणा का प्रतीप अवयव - होगा , क्योंकि
a × 1/a = 1
6 के गुणा का प्रतीप अवयव 1/6 है ।
-7 के गुणा का प्रतीप अवयव -/7 है।
1/2 के गुणा का प्रतीप अवयव 2 है ।
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