गुणनखंडों द्वारा द्विघात समीकरण का हल (Solution of a Quadratic Equation by Factorisation)

प्रशन : 1. गुणनखंड विधि से निम्न द्विघात समीकरणों के मूल ज्ञात कीजिए :

(i) $x^2-3x-10=0$

हल:

दिया गया है, $x^2-3x-10=0$

मध्य भाग का विस्तार करने पर। यहाँ $-3x$ को इस तरह लिखा जा सकता है $-5x+2x$

$\Rightarrow x^2-5x+2x-10=0$

$x$ तथा $2$ को उभयनिष्ठ करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow x(x-5)+2(x-5)=0$

$(x-5)$ को उभनिष्ठ करने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow (x-5)(x+2)=0$

अब स्थिति - I: $x-5=0$

$\Rightarrow x=5$

स्थिति - II: $x+2=0$

$=x=-2$

अत: दिये गये द्विघात समीकरण (quadratic equation) के दो मूल $-2$ तथा $5$ हैं। उत्तर

प्रश्न (1) (ii) $2x^2+x-6=0$

हल:

दिया गया है, $2x^2+x-6=0$

मध्य भाग का विस्तार करने पर। यहाँ $x$ को $4x-3x$ लिखा जा सकता है।

$\Rightarrow 2x^2+4x-3x-6=0$

अब $2x$ प्रथम दो पदों से तथा $3$ को अंतिम दो पदों से उभनिष्ठ लेने पर

$\Rightarrow 2x(x+2)-3(x-2)=0$

$(x+2)$ को उभयनिष्ठ लेने पर

$\Rightarrow (x+2)(2x-3)=0$

अत: स्थिति -I:

यदि $x+2=0$

$\therefore x=-2$

तथा स्थिति - II:

यदि $2x-3=0$

$\therefore 2x=3$

$\Rightarrow x=\frac{3}{2}$

अत: दिये गये द्विघातीय समीकरण दो मूल है: $-2$ तथा $\frac{3}{2}$ उत्तर

प्रश्न (1) (iii)$\sqrt{2}{x}^2+7x+5\sqrt{2}=0$

हल:

दिया गया है, $\sqrt{2}{x}^2+7x+5\sqrt{2}=0$

मध्य पद को विस्तार करने पर। यहाँ $7x$ को $2x+5x$ लिखा जा सकता है।

$\Rightarrow \sqrt{2}{x}^2+2x+5x+5\sqrt{2}=0$

अब प्रथम दो पदों से $\sqrt{2}$ तथा अंतिम के दो पदों से $5$ को उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि

$\sqrt{2}x(x+\sqrt{2})+5x(x+\sqrt{2})=0$

$(x+\sqrt{2})$ को उभनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि

$\Rightarrow (x+\sqrt{2})(\sqrt{2}x+5x)=0$

अब स्थिति -I:`

यदि $(x+\sqrt{2})=0$

$\therefore x=-\sqrt{2}$

स्थिति - II:

यदि $\sqrt{2}x+5=0$

$\therefore \sqrt{2}x=-5$

$\Rightarrow x=-\frac{5}{\sqrt{2}}$

अत: दिये गये द्विघात समीकरण के दो मूल $-\frac{5}{\sqrt{2}}$ तथा $-\sqrt{2}$ हैं। उत्तर

प्रश्न (1) (iv) $2x^2-x+\frac{1}{8}=0$

दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (1) (iv) का हल:

दिया गया है, $2x^2-x+\frac{1}{8}=0$

$\Rightarrow \frac{16x^2-8x+1}{8}=0$

$\Rightarrow 16x^2-8x+1=0$

मध्य पद $-8x$ का विस्तार करने पर, इसे $-4x-4x$ लिखा जा सकता है।

$\Rightarrow 16x^2-4x-4x+1=0$

अब प्रथम दो पदों से $4x$ तथा अंतिम दो पदों स $-1$ उभयनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि

$4x(4x-1)-1(4x-1)=0$

अब $4x-1$ उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि

$(4x-1)(4x-1)=0$

यदि $4x-1=0$

तो $\Rightarrow 4x=1$

$\Rightarrow x=\frac{1}{4}$

अत: दिये गये द्विघात समीकरण का केवल एक ही मूल $\frac{1}{4}$ है। उत्तर

प्रशन (1) (v) $100x^2-20x+1=0$

दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (1) (v) का हल:

दिया गया है, $100x^2-20x+1=0$

मध्य पद $-20x$ को विस्तार कर $(-10x-10x)$ लिखने पर हम पाते हैं कि

$\Rightarrow 100x^2-10x-10x+1=0$

प्रथम दो पदों से $10x$ तथा अंतिम दो पदों से $(-1)$ उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि

$10x(10x-1)-1(10x-1)=0$

$(10x-1)$ उभनिष्ठ लेने पर हम पाते हैं कि

$(10x-1)(10x-1)=0$

यहाँ पर केवल एक ही स्थिति उत्पन्न होती है, i.e. $10x-1=0$

अत: यदि $10x-1=0$

$\therefore 10x=1$

$\Rightarrow x=\frac{1}{10}$

अत: दिये गये द्विघात समीकरण का केवल एक ही मूल $\frac{1}{10}$ है। Answer

प्रश्न : 2. उदाहरण 1 में दी गई समस्याओं को हल किजिये

(i) जॉन और जीवंती के पास कुल मिलाकर 45 कंचे हैं। दोनों पाँच– पाँच कंचे खो देते हैं और अब उनके पास कंचों की संख्या का गुणनफल 124 है। हम जानना चाहेंगे कि आरंभ में उनके पास कितने कंचे थे।

दशम गणित के NCERT प्रश्नावली 4.2 के प्रश्न (2) (i) का हल :

दिया गया है, जॉन और जीवंती के पास कुल कंचों की संख्यां $=45$

उनमें से प्रत्येक के द्वारा 5 – 5 कंचे खो देने के बाद दोनों के पास बची हुई कुल कंचों की संख्यां $=45-(5\times 2)=35$

अब माना कि जॉन के पास कुल कंचों की संख्यां $=x$

∴ पाँच कंचे खो देने के बाद जीवंती के पास बचे कंचों की संख्यां $=35-x$

अब दिया गया है कि कंचे खो देने के बाद दोनों के पास बची कंचों की संख्यां का गुणनफल $=124$

$\therefore x(35-x)=124$

$\Rightarrow 35x-x^2=124$

$\Rightarrow -x^2+35x-124=0$

$\Rightarrow -x^2+31x+4x-124=0$

[∵ चूँकि मध्य पद $(+35x)$ को $(31x+4x)$ लिखा जा सकता है।]

अब प्रथम दो पदों से $(-x)$ तथा अंतिम दो पदों से $\left(4\right)$ उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि

$-x(x-31)+4(x-31)=0$

$(x-31)$ उभयनिष्ठ लेने पर, हम पाते हैं कि

$(x-31)(-x+4)=0$

अब, Case -I :

अत: यदि, $(x-31)=0$

$\therefore x=31$

तथा Case - II :

यदि $-x+4=0$

$\therefore -x=4\Rightarrow x=-4$

चूँकि Case - II में कंचों की संख्या का मान ऋणात्मक है, अत: उसे छोड़ दिया जाता है।

अत: यहाँ पर केवल एक ही case - I मान्य है।

अत: जॉन के पास कंचों की संख्यां $=x+5=31+5=36$

चूँकि दोनों को मिलाकर कुल कंचों की संख्यां 45 थी, अत: जीवंती के पास कंचों की संख्यां $=45-36=9$

∴ जॉन के पास कंचों की संख्यां = 36

तथा जीवंती के पास कंचों की संख्यां = 9 Answer